【正确答案】 C

【答案解析】[解析] 当a=1时，易见秩r(A)=1．当a≠1时，由于
[*]
知r(A)=3．
由于AB=0，A是3×4矩阵，有r(A)+r(B)≤4．
那么当a=1时，r(A)=1，1≤r(B)≤3．
B是4×2矩阵，所以B的秩可能为1也可能为2，因此(A)、(B)均不正确．
当a≠1时，r(A)=3，所以必有r(B)=1，(D)不正确．
[评注] 当a=1时，你能否写出三个4×3的矩阵B，让其秩分别为1，为2，为3?
本题考查矩阵秩的概念以及AB=0中关于秩的信息．
若AB=0，将B按列分块，B=[β₁，β₂，…，β_n]，有
AB=A[β₁，β₂，…，β_n]=[Aβ₁，Aβ₂，…，Aβ_n]=[0，0，…，0]．
从而Aβ_i=0(i=1，2，…n)，即β_i是方程组Ax=0的解．这样向量组β₁，β₂，…，β_n可由Ax=0的基础解系线性表出，从而r([β₁，β₂，…，β_n])≤n-r(A)．故有r(A)+r(B)≤n．以上得到的命题“若AB=0，则r(A)+r(B)≤n”在考试中可直接使用．由这一命题及r(A)＞0，r(B)＞0，立刻可得出A与B的秩均小于n．