解答题
24.设f(x)二阶连续可导，且曲线积分∫[3f′(x)－2f(x)+xe2x]ydx+f′(x)dy与路径无关，求f(x)．
【正确答案】因为曲线积分与路径无关，所以有
f″(x)=3f′(x)－2f(x)+xe2x，即f″(x)－3f′(x)+2f(x)=xe2x，
由特征方程λ2－3λ+2=0得λ1=1，λ2=2，
则方程f″(x)－3f′(x)+2f(x)=0的通解为f(x)=C1ex+C2e2x，
令特解f0(x)=x(ax+b)e2x，代入原微分方程得a=
，b=－1，
故所求f(x)=C1ex+C2e2x+
f″(x)=3f′(x)－2f(x)+xe2x，即f″(x)－3f′(x)+2f(x)=xe2x，
由特征方程λ2－3λ+2=0得λ1=1，λ2=2，
则方程f″(x)－3f′(x)+2f(x)=0的通解为f(x)=C1ex+C2e2x，
令特解f0(x)=x(ax+b)e2x，代入原微分方程得a=
，b=－1，故所求f(x)=C1ex+C2e2x+
【答案解析】