问答题
已知球坐标系中矢量A=ae
r
+be
θ
+ce
φ
，式中a、b、c均为常数，A是常矢量吗?试求▽.A、▽×A以及A在相应的直角坐标系及圆柱坐标系中的表达式。
【正确答案】正确答案：
即矢量A=ae
r
+be
θ
+ce
φ
的模为常数。 将矢量A=ae
r
+be
θ
+ce
φ
用直角坐标系表示，有 A=ae
r
+be
θ
+ce
φ
=e
x
(asinθcosφ+bcosθcosφ-csinφ)+ e
y
(asinθsinφ+bcosθsinφ+ccosφ)+e
z
(acosθ-bsinθ) 由此可见，矢量A的方向随θ和φ变化，故矢量A不是常矢量。 由上述结果可知，一个常矢量C在球坐标系中不能表示为C=ae
r
+be
θ
+ce
φ
。 在球坐标系中，矢量A的散度为：
代入各个分量，即可得
在球坐标系中，矢量A的旋度为：
代入各个分量，即可得
根据矢量在直角坐标与球坐标系中的变换关系，如下
则在直角坐标系下的表达式为：
根据圆柱坐标系和球坐标系坐标分量的转换关系，
因此在圆柱坐标系下的表达式为
即矢量A=ae
r
+be
θ
+ce
φ
的模为常数。 将矢量A=ae
r
+be
θ
+ce
φ
用直角坐标系表示，有 A=ae
r
+be
θ
+ce
φ
=e
x
(asinθcosφ+bcosθcosφ-csinφ)+ e
y
(asinθsinφ+bcosθsinφ+ccosφ)+e
z
(acosθ-bsinθ) 由此可见，矢量A的方向随θ和φ变化，故矢量A不是常矢量。 由上述结果可知，一个常矢量C在球坐标系中不能表示为C=ae
r
+be
θ
+ce
φ
。 在球坐标系中，矢量A的散度为：
代入各个分量，即可得
在球坐标系中，矢量A的旋度为：
代入各个分量，即可得
根据矢量在直角坐标与球坐标系中的变换关系，如下
则在直角坐标系下的表达式为：
根据圆柱坐标系和球坐标系坐标分量的转换关系，
因此在圆柱坐标系下的表达式为
【答案解析】