解答题
设A为正交矩阵，若|A|=-1，求证A一定有特征值-1．
【正确答案】
【答案解析】[证] 设矩阵A的特征多项式为
f(λ)=|A-λE|，
则 f(-1)=|A+E|， ①
又因为A为正交阵，所以AAT=E，于是
f(-1)=|A+AAT|=|A||E+AT| (因为|A|=-1)
=-|E+AT|=-|(E+A)T|=-|A+E|， ②
由 ①，②
f(λ)=|A-λE|，
则 f(-1)=|A+E|， ①
又因为A为正交阵，所以AAT=E，于是
f(-1)=|A+AAT|=|A||E+AT| (因为|A|=-1)
=-|E+AT|=-|(E+A)T|=-|A+E|， ②
由 ①，②