解答题
14.已知三角形的周长为2p，将它绕其一边旋转而构成一立体，求使立体体积最大的那个三角形．
【正确答案】设三角形的三边长为a，b，c，并设以AC边为旋转轴(见图8．1)，AC上的高为h，则旋转所成立体的体积为V＝
πh2b．
又设三角形的面积为S，于是有
问题化成求V(a，b，c)在条件a＋b＋c－2p＝0下的最大值点，等价于求V0(a，b，c)＝ln
(p－a)(P－b)(P－c)＝ln(p－a)＋ln(p－b)＋ln(p－c)－lnb在条件a＋b＋c－2p＝0下的最大值点．用拉格朗日乘子法．令F(a，b，c，λ)＝V0(a，b，c)＋λ(a＋b＋c－2p)，求解方程组
比较①，③得a＝c，再由④得b＝2(p－a)． ⑤
比较①，②得b(p－b)＝(P－a)P． ⑥
由⑤，⑥解出
，又c＝a＝
．
由实际问题知，最大体积一定存在，而以上解又是方程组的唯一解．因而也是条件最大值点．所以当三角形的边长分别为
时，绕边长为
πh2b．又设三角形的面积为S，于是有
问题化成求V(a，b，c)在条件a＋b＋c－2p＝0下的最大值点，等价于求V0(a，b，c)＝ln
(p－a)(P－b)(P－c)＝ln(p－a)＋ln(p－b)＋ln(p－c)－lnb在条件a＋b＋c－2p＝0下的最大值点．用拉格朗日乘子法．令F(a，b，c，λ)＝V0(a，b，c)＋λ(a＋b＋c－2p)，求解方程组比较①，③得a＝c，再由④得b＝2(p－a)． ⑤
比较①，②得b(p－b)＝(P－a)P． ⑥
由⑤，⑥解出
，又c＝a＝．由实际问题知，最大体积一定存在，而以上解又是方程组的唯一解．因而也是条件最大值点．所以当三角形的边长分别为
时，绕边长为【答案解析】