问答题
在独立的伯努利试验中，若p为一次试验中成功的概率．以X记为第r次成功出现时的试验次数，则X是随机变量，取值为r，r+1，…，称为负二项分布，记为Nb(r，p)，其概率分布为：
P{X=k}=C
k-1
r-1
p
r
(1-p)
k-r
，k=r，r+1，…．
(1)记Y
1
表示首次成功的试验次数，Y
2
表示第1次成功后到第2次成功为止共进行的试验次数，证明X=Y
1
+Y
2
～Nb(2，p)；
(2)设试验成功的概率为
，失败的概率为
，失败的概率为
【正确答案】正确答案：(1)Y
1
表示“首次成功的试验次数”，则Y
1
服从参数为p的几何分布，取值1，2，…，Y
2
表示“第1次成功后到第2次成功为止共进行的试验次数”，则Y
2
也服从参数为p的几何分布，取值为1，2，…，即Y
1
，Y
2
独立同分布于 P{Y
1
=k}=(1一p)
p-1
.p，k=1，2，…， 则X=Y
1
+Y
2
为第2次成功出现时的试验次数，取值为2，3，…，故
=(k一1)p
2
(1一p)
k-2
=C
k-1
1
p
2
(1一p)
k-2
， 则 X=Y
1
+Y
2
～Nb(2，p)． (2)令
，Y
i
(i=1，2)服从参数为
的几何分布且相互独立，重复试验直到成功两次为止的试验次数X=Y
1
+Y
2
，所以 EX=E(Y
1
+Y
2
)=EY
1
+EY
2
=
DX=D(Y
1
+Y
2
)=DY
1
+DY
2
=
=(k一1)p
2
(1一p)
k-2
=C
k-1
1
p
2
(1一p)
k-2
， 则 X=Y
1
+Y
2
～Nb(2，p)． (2)令
，Y
i
(i=1，2)服从参数为
的几何分布且相互独立，重复试验直到成功两次为止的试验次数X=Y
1
+Y
2
，所以 EX=E(Y
1
+Y
2
)=EY
1
+EY
2
=
DX=D(Y
1
+Y
2
)=DY
1
+DY
2
=
【答案解析】