问答题
求0微分方程y"+y=cosx的通解．
【正确答案】[分析与求解] 因为特征方程λ2+1=0的特征根λ=±i，所以方程对应的齐次方程的通解为
y=C1cosx+C2sinx．
注意cosx=eax(acosβx+bsinβx)，其中α=0，β=1，a=1，b=0，α±iβ是特征根，于是方程有特解y*=x(Acosx+Bsinx)，计算可得
y*'=Acosx+Bsinx+x(-Asinx+Bcosx)，
y*"=-2Asinx+2Bcosx+x(-Acosx-Bsinx)=-2Asinx+2Bcosx-y*．
即 y*"+y*=-2Asinx+2Bcosx．
代入方程得 -2Asinx+2Bcosx=cosx．
于是
因此，原方程的通解为
y=C1cosx+C2sinx．
注意cosx=eax(acosβx+bsinβx)，其中α=0，β=1，a=1，b=0，α±iβ是特征根，于是方程有特解y*=x(Acosx+Bsinx)，计算可得
y*'=Acosx+Bsinx+x(-Asinx+Bcosx)，
y*"=-2Asinx+2Bcosx+x(-Acosx-Bsinx)=-2Asinx+2Bcosx-y*．
即 y*"+y*=-2Asinx+2Bcosx．
代入方程得 -2Asinx+2Bcosx=cosx．
于是
因此，原方程的通解为
【答案解析】
