问答题
设α1，α2，β1，β2均是三维向量，且α1，α2线性无关，β1，β2线性无关，证明存在非零向量γ使得γ既可由α1，α2线性表出，又可由β1，β2线性表出．
【正确答案】[证] 四个三维向量α1，α2，β1，β2必线性相关，故有不全为零的k1，k2，l1，l2使得
k1α1+k2α2+l1β1+l2β2=0
令γ=k1α1+k2α2=-l1β1-l2β2，则必有k1，k2不全为零，否则，若k1=k2=0，由k1，k2，l1，l2不全为零知l1，l2不全为零，而
-l1β1-l2β2=0
这与β1，β2线性无关相矛盾，所以k1，k2不全为0，同理l1，l2亦不全为0，从而知γ≠0，它既可由α1，α2线性表出又可由β1，β2线性表出．
对已知的α1，α2，β1，β2，设x1α1+x2α2++y1β1+y2β2=0作初等行变换有
[*]
得方程组的通解为k(0,-3,-2,1)T，即x1=0，x2=-3k，y1=-2k，y2=k
所以
[*]
k1α1+k2α2+l1β1+l2β2=0
令γ=k1α1+k2α2=-l1β1-l2β2，则必有k1，k2不全为零，否则，若k1=k2=0，由k1，k2，l1，l2不全为零知l1，l2不全为零，而
-l1β1-l2β2=0
这与β1，β2线性无关相矛盾，所以k1，k2不全为0，同理l1，l2亦不全为0，从而知γ≠0，它既可由α1，α2线性表出又可由β1，β2线性表出．
对已知的α1，α2，β1，β2，设x1α1+x2α2++y1β1+y2β2=0作初等行变换有
[*]
得方程组的通解为k(0,-3,-2,1)T，即x1=0，x2=-3k，y1=-2k，y2=k
所以
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【答案解析】[评注] 本题求向量γ的另一种出题方法是已知齐次方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的基础由解系分别是α1，α2与β1，β2，求这两个方程组的非零公共解．