问答题
设g(x)在(-∞，+∞)上连续，对任意实数x，有g(x+1)=g(x)，且
，而f(x)在[0，1]上有连续的导数，记
．试证：级数
，而f(x)在[0，1]上有连续的导数，记
．试证：级数
【正确答案】
【答案解析】g(x)是以T=1为周期的连续周期函数，满足
．于是
是以T=1为周期的可导函数．由连续周期函数积分性质知
，
故G(0)=0，
．因为
，故dG(nx)=ng(nx)dx．
于是
由于G(x)在(-∞，+∞)上连续，且以T=1为周期，从而有界，即存在常数M 1 ＞0使|G(x)|≤M 1 ，于是|G(nx)|≤M 1 [x∈(-∞，+∞)]．
又f"(x)在[0，1]上连续，故有界，即存在常数M 2 ＞0，使|f"(x)|≤M 2 (x∈[0，1])．
由式(*)，有
于是
依正项级数比较判别法知
．于是
是以T=1为周期的可导函数．由连续周期函数积分性质知
，故G(0)=0，
．因为
，故dG(nx)=ng(nx)dx．
于是
由于G(x)在(-∞，+∞)上连续，且以T=1为周期，从而有界，即存在常数M 1 ＞0使|G(x)|≤M 1 ，于是|G(nx)|≤M 1 [x∈(-∞，+∞)]．
又f"(x)在[0，1]上连续，故有界，即存在常数M 2 ＞0，使|f"(x)|≤M 2 (x∈[0，1])．
由式(*)，有
于是
依正项级数比较判别法知