解答题
设向量组α1，α2，…，αt(t＞2)线性无关，令
β1=α2+α3+…+αt，β2=α1+α3+…+αt，…，βt=α1+α2+…+αt-1，
证明：β1，β2，…，βt线性无关．
β1=α2+α3+…+αt，β2=α1+α3+…+αt，…，βt=α1+α2+…+αt-1，
证明：β1，β2，…，βt线性无关．
【正确答案】
【答案解析】[证]设存在t个常数是k1，k2，…，kt，使得k1β1+k2β2+…+ktβt=0，即
k1(α2+α3+…+αt)+k2(α1+α3+…+αt)+…+kt(α1+α2+…+αt-1)=0，
经整理，得
(k2+k3+…+kt)α1+(k1+k3+…+kt)α2+…+(k1+k2+…+kt-1)αt=0．
因为α1，α2，…，αt线性无关，
所以
①+②+…+
，得(t-1)(k1+k2+…+kt)=0，
因为t＞2，t-1≠0，所以
k1+k2+…+kt=0，
k1(α2+α3+…+αt)+k2(α1+α3+…+αt)+…+kt(α1+α2+…+αt-1)=0，
经整理，得
(k2+k3+…+kt)α1+(k1+k3+…+kt)α2+…+(k1+k2+…+kt-1)αt=0．
因为α1，α2，…，αt线性无关，
所以
①+②+…+
，得(t-1)(k1+k2+…+kt)=0，因为t＞2，t-1≠0，所以
k1+k2+…+kt=0，