问答题
已知矩阵
【正确答案】由矩阵A的特征多项式
=(λ-1)2(λ-2)，
可知矩阵A的特征值是1，1，2.
因为A有3个线性无关的特征向量，故A可化为相似对角矩阵，对应重根λ1=λ2=1，应该有2个线性无关的特征向量，于是r(1·E-A)=3-2=1. 即r(E-A)=1. 又
故a=1.
由(E-A)x=0，即
得基础解系α1=(1，0，1)T，α2=(0，1，0)T.
由(2E-A)x=0，即
得基础解系α3=(2，-1，3)T，
那么令P=(α1，α2, α3)，有
，从而
于是
=(λ-1)2(λ-2)，
可知矩阵A的特征值是1，1，2.
因为A有3个线性无关的特征向量，故A可化为相似对角矩阵，对应重根λ1=λ2=1，应该有2个线性无关的特征向量，于是r(1·E-A)=3-2=1. 即r(E-A)=1. 又
故a=1.
由(E-A)x=0，即
得基础解系α1=(1，0，1)T，α2=(0，1，0)T.
由(2E-A)x=0，即
得基础解系α3=(2，-1，3)T，
那么令P=(α1，α2, α3)，有
，从而于是
【答案解析】要搞清相似对角化的充分必要条件，掌握相似对角化的应用求An.