问答题
设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导．
问答题
叙述并证明一元函数微分学中的拉格朗日中值定理；
【正确答案】正确答案：拉格朗日中值定理：设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则至少存在一点ξ∈(a，b)，使 f(b)－f(a)=f'(ξ)(b－a)． 证明：令
则有：φ(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且φ(a)=f(a)，φ(b)=f(a)，故φ(a)=φ(b)，所以φ(x)在[a，b]上满足罗尔定理条件，从而知至少存在一点ξ∈(a，b)使φ'(ξ)=0，即
则有：φ(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且φ(a)=f(a)，φ(b)=f(a)，故φ(a)=φ(b)，所以φ(x)在[a，b]上满足罗尔定理条件，从而知至少存在一点ξ∈(a，b)使φ'(ξ)=0，即【答案解析】
问答题
若f(x)不是一次式也不为常函数，试证明至少存在一点ξ∈(a，b)使
【正确答案】正确答案：作
易知F(a)=F(b)=0．由于f(x)不是一次式也不为常函数，则F(x)不为常数．所以至少有一点x
1
∈(a，b)使 F(x
1
)＞0， 或至少有一点x
2
∈(a，b)使 F(x
2
)＜0， 于是有
由拉格朗日中值定理知，至少存在一点ξ∈(a，b)，使F'(ξ)＞0，即有
如果f(b)=f(a)≥0，那么由上式便有
易知F(a)=F(b)=0．由于f(x)不是一次式也不为常函数，则F(x)不为常数．所以至少有一点x
1
∈(a，b)使 F(x
1
)＞0， 或至少有一点x
2
∈(a，b)使 F(x
2
)＜0， 于是有
由拉格朗日中值定理知，至少存在一点ξ∈(a，b)，使F'(ξ)＞0，即有
如果f(b)=f(a)≥0，那么由上式便有
【答案解析】