设随机变量X，Y相互独立，已知X在[0，1]上服从均匀分布，Y服从参数为1的指数分布．求(Ⅰ)随机变量Z=2X+Y的密度函数；(Ⅱ)Cov(Y，Z)，并判断X与Z的独立性．
【正确答案】正确答案：(X，Y)的联合密度 f(x，y)=f
X
(x)f
Y
(y)=
(Ⅰ)分布函数法． F
Z
(z)=P{Z≤z}=P{2X+Y≤z}． 当z＜0时，Fz(z)=0；当0≤z＜2时，如图4．1，
当z≥2时， F
Z
(z)=∫
0
1
dx∫
0
z—2x
e
-y
dy=∫
0
1
[1—e
-(z—2x)
]dx=1一
(e
2
—1)． Z的概率密度f
Z
(z)为
(Ⅱ)由于X，Y相互独立，所以Cov(X，Y)=0． Cov(Y，Z)=Cov(Y，2X+Y)=2Cov(X，Y)+DY=0+1=1 由于Cov(X，Z)=Cov(X，2X+Y)=2DX+Cov(X，Y)=
(Ⅰ)分布函数法． F
Z
(z)=P{Z≤z}=P{2X+Y≤z}． 当z＜0时，Fz(z)=0；当0≤z＜2时，如图4．1，
当z≥2时， F
Z
(z)=∫
0
1
dx∫
0
z—2x
e
-y
dy=∫
0
1
[1—e
-(z—2x)
]dx=1一
(e
2
—1)． Z的概率密度f
Z
(z)为
(Ⅱ)由于X，Y相互独立，所以Cov(X，Y)=0． Cov(Y，Z)=Cov(Y，2X+Y)=2Cov(X，Y)+DY=0+1=1 由于Cov(X，Z)=Cov(X，2X+Y)=2DX+Cov(X，Y)=
【答案解析】