解答题
19.设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且f(0)=
【正确答案】由积分中值定理得
≤η≤1．于是f(x)在 [η，2]上满足罗尔定理，即存在ξ1∈(η，2)，故
f'(ξ1)=0．①
又f(x)在
上满足罗尔定理，于是存在ξ2∈
，使
f'(ξ2)=0． ②
由式①、式②得到f'(ξ1)=f'(ξ2)．再对f'(x)在[ξ2 ，ξ1]上使用罗尔定理，得到ξ∈(ξ2 ，ξ1)
≤η≤1．于是f(x)在 [η，2]上满足罗尔定理，即存在ξ1∈(η，2)，故f'(ξ1)=0．①
又f(x)在
上满足罗尔定理，于是存在ξ2∈，使f'(ξ2)=0． ②
由式①、式②得到f'(ξ1)=f'(ξ2)．再对f'(x)在[ξ2 ，ξ1]上使用罗尔定理，得到ξ∈(ξ2 ，ξ1)
【答案解析】