问答题
已知二次型
问答题
求a，b的值；
【正确答案】
【答案解析】该二次型的矩阵为
设A的特征值为λ
i
(i=1，2，3)，由题设有
设A的特征值为λ
i
(i=1，2，3)，由题设有
问答题
利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．
【正确答案】
【答案解析】矩阵A的特征多项式为
得到A的特征值为λ
1
=λ
2
=2，λ
3
=-3．
对于λ=2，由
，得到属于λ=2的线性无关的特征向量α
1
=(0，1，0)
T
，α
2
=(2，0，1)
T
．
对于λ=-3，由(-3E-A)x=0，
，得到属于λ=-3的特征向量α
3
=(1，0，-2)
T
．
由于α 1 ，α 2 ，α 3 已两两正交，故只需单位化，有
那么，令
则P为正交矩阵，在正交变换x=Py下，有
则该二次型的标准形为
得到A的特征值为λ
1
=λ
2
=2，λ
3
=-3．
对于λ=2，由
，得到属于λ=2的线性无关的特征向量α
1
=(0，1，0)
T
，α
2
=(2，0，1)
T
．
对于λ=-3，由(-3E-A)x=0，
，得到属于λ=-3的特征向量α
3
=(1，0，-2)
T
．
由于α 1 ，α 2 ，α 3 已两两正交，故只需单位化，有
那么，令
则P为正交矩阵，在正交变换x=Py下，有
则该二次型的标准形为