问答题
设函数f(x)在[0，1]上有连续的三阶导数，且f(0)=1，f(1)=2，
【正确答案】
【答案解析】[证明] 用泰勒公式．按题设条件，展开点取为
，被展开点分别取x=0，1．
以上两式相减，得
因f(0)=1，f(1)=2，
，故有
|f""(ξ
1
)+f""(ξ
2
)|=1，即|f""(ξ
1
)|+|f""(ξ
2
)|≥48．
于是2max{|f""(ξ 1 )|，|f""(ξ 2 )|}≥|f""(ξ 1 )|+|f""(ξ 2 )|≥48，
即max{|f""(ξ 1 )|，|f""(ξ 2 )|}≥24．
由于f"(x)在[ξ 1 ，ξ 2 ]
，被展开点分别取x=0，1．
以上两式相减，得
因f(0)=1，f(1)=2，
，故有
|f""(ξ
1
)+f""(ξ
2
)|=1，即|f""(ξ
1
)|+|f""(ξ
2
)|≥48．
于是2max{|f""(ξ 1 )|，|f""(ξ 2 )|}≥|f""(ξ 1 )|+|f""(ξ 2 )|≥48，
即max{|f""(ξ 1 )|，|f""(ξ 2 )|}≥24．
由于f"(x)在[ξ 1 ，ξ 2 ]