问答题 β₁,β₂,…,β_k为方程组Ax=b(B≠0)的解向量，试问它们的线性组合β=λ₁β₁+λ₁β₂+…+λ_kβ_k是否仍为其解向量?若不然，应满足什么条件?

【正确答案】一般不是．当且仅当λ₁+λ₂+…+λ_k=1时，其线性组合β=λ₁β₁+λ₁β₂+… +λ_kβ_k才为AX=b的解向量．
事实上，将A左乘λ₁β₁+…+λ_kβ_k，利用Aβ_i=b得到
A(λ₁β₁+…+λ_kβ_k)
=λ₁Aβ₁+…+λ_kAβ_k
=λ₁b+…+λ_kb=(λ₁+…+λ_k)b．
欲使A(λ₁β₁+…+λ_kβ_k)=b，当且仅当
(λ₁+…+λ_k)b=b 即(λ₁+…+λ_k-1)b=0．
因b≠0，于是当且仅当λ₁+…+λ_k=1时，β为解向量．

【答案解析】