解答题
设二维非零向量口不是二阶方阵A的特征向量．
问答题
20.证明：a，Aa线性无关；
【正确答案】a，Aa线性相关，则存在不全为零的数k1，k2，使得k1a＋k2Aa＝0，显然k2≠0，所以Aa＝－
【答案解析】
问答题
21.若A2a＋Aa－6a＝0，求A的特征值，讨论A可否对角化；
【正确答案】由A2a＋Aa－6a＝0，得(A2＋A－6E)a＝0，
因为a≠0，所以r(A2＋A－6E)＜2，从而｜A2＋A－6E｜＝0，即｜3E＋A｜·｜2E－A｜＝0，则｜3E＋A｜＝0或｜2E－A｜＝0．
若｜3E＋A｜≠0，则3E＋A可逆，由(3E＋A)(2E－A)a＝0，得(2E－A)a＝0，即Aa＝2a，矛盾；
若｜2E－A｜≠0，则2E－A可逆，由(2E－A)(3E＋A)a＝0，得(3E＋A)a＝0，即Aa＝－3a，矛盾，所以有｜3E＋A｜＝0且｜2E－A｜＝0，于是二阶矩阵A有两个特征值－3，2，故A可对角化．
因为a≠0，所以r(A2＋A－6E)＜2，从而｜A2＋A－6E｜＝0，即｜3E＋A｜·｜2E－A｜＝0，则｜3E＋A｜＝0或｜2E－A｜＝0．
若｜3E＋A｜≠0，则3E＋A可逆，由(3E＋A)(2E－A)a＝0，得(2E－A)a＝0，即Aa＝2a，矛盾；
若｜2E－A｜≠0，则2E－A可逆，由(2E－A)(3E＋A)a＝0，得(3E＋A)a＝0，即Aa＝－3a，矛盾，所以有｜3E＋A｜＝0且｜2E－A｜＝0，于是二阶矩阵A有两个特征值－3，2，故A可对角化．
【答案解析】