解答题
6.[2009年] 设非负函数y=y(x)(x≥0)满足微分方程xy″一y′+2=0．当曲线y=y(x)过原点时，其与直线x=1及y=0围成平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得的旋转体体积．
【正确答案】由初始条件求出所给微分方程的特解，进而求出旋转体体积．
先求解不显含y的微分方程，求出y(x)的表示式．令y′=p，则y″=
，原方程化为
,即 xp′一p=－2， 亦即
,
故
+C1，所以p=2+C1x，其中C1为任意常数．
在
=2+C1x两边积分得到y=2x+C1x2／2+C2，其中C2为任意常数．
由y(0)=0得到C2=0．又由
2=∫01y(x)dx=∫01(2x+
C1x2)dx=
从而C1=6，于是非负函数为y=x+3x2(x≥0)．
在第一象限曲线y=f(x)可表示为x=
与x=1的交点为(1，5)，于是D(见图1．3．5．6)围绕y轴旋转所得旋转体的体积为
V=∫05π×12dy一∫055πx2dy=5π一V1，
其中 V1=∫05πx2dy=∫05π·
一1)2dy
=
，
故 V=5π一39π／18=51π／18=17π／6．
先求解不显含y的微分方程，求出y(x)的表示式．令y′=p，则y″=
，原方程化为,即 xp′一p=－2， 亦即,故
+C1，所以p=2+C1x，其中C1为任意常数．在
=2+C1x两边积分得到y=2x+C1x2／2+C2，其中C2为任意常数．由y(0)=0得到C2=0．又由
2=∫01y(x)dx=∫01(2x+
C1x2)dx=从而C1=6，于是非负函数为y=x+3x2(x≥0)．
在第一象限曲线y=f(x)可表示为x=
与x=1的交点为(1，5)，于是D(见图1．3．5．6)围绕y轴旋转所得旋转体的体积为V=∫05π×12dy一∫055πx2dy=5π一V1，
其中 V1=∫05πx2dy=∫05π·
一1)2dy=
，故 V=5π一39π／18=51π／18=17π／6．
【答案解析】