解答题
设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，f'+(a)f'-(b)＞0，
且g(x)≠0(x∈[a，b])，g"(x)≠0(a＜x＜b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得
且g(x)≠0(x∈[a，b])，g"(x)≠0(a＜x＜b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得
【正确答案】
【答案解析】[证明] 设f'+(a)＞0，f'-(b)＞0，
由f'+(a)＞0，存在x1∈(a，b)，使得f(x1)＞f(a)=0；
由f'-(b)＞0，存在x2∈(a，b)，使得f(x2)＜f(b)=0，
因为f(x1)f(x2)＜0，所以由零点定理，存在c∈(a，b)，使得f(c)=0．
令
，显然h(x)在[a，b]上连续，由h(a)=h(c)=h(b)=0，
存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h'(ξ1)=h'(ξ2)=0，
而
，所以
令φ(x)=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)，φ(ξ1)=φ(ξ2)=0，
由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)
(a，b)，使得φ'(ξ)=0，
而φ'(x)=f"(x)g(x)-f(x)g"(x)，所以
由f'+(a)＞0，存在x1∈(a，b)，使得f(x1)＞f(a)=0；
由f'-(b)＞0，存在x2∈(a，b)，使得f(x2)＜f(b)=0，
因为f(x1)f(x2)＜0，所以由零点定理，存在c∈(a，b)，使得f(c)=0．
令
，显然h(x)在[a，b]上连续，由h(a)=h(c)=h(b)=0，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h'(ξ1)=h'(ξ2)=0，
而
，所以令φ(x)=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)，φ(ξ1)=φ(ξ2)=0，
由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)
(a，b)，使得φ'(ξ)=0，而φ'(x)=f"(x)g(x)-f(x)g"(x)，所以