解答题
14.(1)设f(x)是以T为周期的连续函数，试证明：∫0xf(t)dt可以表示为一个以T为周期的函数ψ(x)与kx之和，并求出此常数k；
(2)求(1)中的
(3)以[x]表示不超过x的最大整数，g(x)=x一[x]，求
(2)求(1)中的
(3)以[x]表示不超过x的最大整数，g(x)=x一[x]，求
【正确答案】(1)证明能取到常数k使∫0xf(t)dt一kx为周期T即可．(1)得到的表达式去求
即可得(2)．但请读者注意，一般不能用洛必达法则求此极限，除非f(x)恒为常数．对于
(3)，由于g(x)不连续，如果要借用(1)的结论，需要更深一层的结论(见下面的[注])．由于g(x)可以具体写出它的分段表达式，故可直接积分再用夹逼定理即得．
(1)令φ(x)=∫0xf(t)dt—kx，考察
ψ(x+T)一ψ(x)=∫0x+Tf(t)dt一k(x+T)一∫0xf(t)dt+kx
=∫0Tf(t)dt+∫Tx+Tf(t)dt—∫0xf(t)dt—kT．
对于其中的第二个积分，作积分变量代换，命t=u+T，有
∫Tx+Tf(t)dt=∫0xf(u+T)du=∫0xf(u)du， ①
于是
ψ(x+T)-ψ(x)=∫0Tf(t)dt一kT
可见，ψ(x)为T周期函数的充要条件是
即证明了∫0xf(t)dt可以表示成
其中ψ(x)为某一周期T的函数．
(2)由(1)，
因ψ(x)为连续的周期函数，故ψ(x)在(一∞，+∞)上有界，从而
(3)设n≤x＜n+1，
由n≤x＜n+1，有
由夹逼定理知
即可得(2)．但请读者注意，一般不能用洛必达法则求此极限，除非f(x)恒为常数．对于
(3)，由于g(x)不连续，如果要借用(1)的结论，需要更深一层的结论(见下面的[注])．由于g(x)可以具体写出它的分段表达式，故可直接积分再用夹逼定理即得．
(1)令φ(x)=∫0xf(t)dt—kx，考察
ψ(x+T)一ψ(x)=∫0x+Tf(t)dt一k(x+T)一∫0xf(t)dt+kx
=∫0Tf(t)dt+∫Tx+Tf(t)dt—∫0xf(t)dt—kT．
对于其中的第二个积分，作积分变量代换，命t=u+T，有
∫Tx+Tf(t)dt=∫0xf(u+T)du=∫0xf(u)du， ①
于是
ψ(x+T)-ψ(x)=∫0Tf(t)dt一kT
可见，ψ(x)为T周期函数的充要条件是
即证明了∫0xf(t)dt可以表示成
其中ψ(x)为某一周期T的函数．
(2)由(1)，
因ψ(x)为连续的周期函数，故ψ(x)在(一∞，+∞)上有界，从而
(3)设n≤x＜n+1，
由n≤x＜n+1，有
由夹逼定理知
【答案解析】