问答题
已知α
1
=(1，3，5，-1)
T
，α
2
=(2，7，a，4)
T
，α
3
=(5，17，-1，7)
T
，
(Ⅰ)若α 1 ，α 2 ，α 3 线性相关，求a的值；
(Ⅱ)当n=3时，求与α 1 ，α 2 ，α 3 都正交的非零向量α 4 ；
(Ⅲ)当n=3时，证明α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 可表示任一个4维列向量．
(Ⅰ)若α 1 ，α 2 ，α 3 线性相关，求a的值；
(Ⅱ)当n=3时，求与α 1 ，α 2 ，α 3 都正交的非零向量α 4 ；
(Ⅲ)当n=3时，证明α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 可表示任一个4维列向量．
【正确答案】
【答案解析】[解] (Ⅰ)α
1
，α
2
，α
3
线性相关
秩r(α
1
，α
2
，α
3
)＜3．由于
所以a=-3．
(Ⅱ)设α 4 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 ) T ，则有(α 1 ，α 4 )=0，(α 2 ，α 4 )=0，(α 3 ，α 4 )=0，即
所以α 4 =k(19，-6，0，1) T ，其中k≠0．
(Ⅲ)由于
所以x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
+x
4
α
4
=α恒有解，即任一4维列向量必可由α
1
，α
2
，α
3
，α
4
线性表出．
或者由(Ⅰ)知a=3时，α 1 ，α 2 ，α 3 必线性无关，那么：若
k 1 α 1 +k 2 α 2 +k 3 α 3 +k 4 α 4 =0，
用
左乘上式两端并利用
秩r(α
1
，α
2
，α
3
)＜3．由于
所以a=-3．
(Ⅱ)设α 4 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 ) T ，则有(α 1 ，α 4 )=0，(α 2 ，α 4 )=0，(α 3 ，α 4 )=0，即
所以α 4 =k(19，-6，0，1) T ，其中k≠0．
(Ⅲ)由于
所以x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
+x
4
α
4
=α恒有解，即任一4维列向量必可由α
1
，α
2
，α
3
，α
4
线性表出．
或者由(Ⅰ)知a=3时，α 1 ，α 2 ，α 3 必线性无关，那么：若
k 1 α 1 +k 2 α 2 +k 3 α 3 +k 4 α 4 =0，
用
左乘上式两端并利用