问答题
求一条凹曲线，已知其上任意一点处的曲率
【正确答案】
【答案解析】[解] 由曲率计算公式及曲线为凹知，
因为α为曲线在相应点的切线的倾斜角，且cosα＞0，所以
于是由条件
推知
整理得微分方程
2y 2 y"=(1+(y") 2 ) 2 ．
此为缺x的可降阶二阶方程．命
代入上述微分方程，化简为
分离变量得
解得y=(p 2 +1)+y(p 2 +1)C 1 ．由于曲线在点(1，1)处切线水平，故y(1)=1，y"(1)=0．于是有1=1+C 1 ，C 1 =0．
故得
y=p 2 +1，
即
由于曲线是凹的，y=1不是解，再将
分离变量后积分得
由y(1)=1，所以C 2 =-1，得
因为α为曲线在相应点的切线的倾斜角，且cosα＞0，所以
于是由条件
推知
整理得微分方程
2y 2 y"=(1+(y") 2 ) 2 ．
此为缺x的可降阶二阶方程．命
代入上述微分方程，化简为
分离变量得
解得y=(p 2 +1)+y(p 2 +1)C 1 ．由于曲线在点(1，1)处切线水平，故y(1)=1，y"(1)=0．于是有1=1+C 1 ，C 1 =0．
故得
y=p 2 +1，
即
由于曲线是凹的，y=1不是解，再将
分离变量后积分得
由y(1)=1，所以C 2 =-1，得