解答题
设随机变量X和Y的联合分布在以点(0，1)，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布(如图所示)，试求随机变量U=X+Y的方差．
【正确答案】
【答案解析】【解法一】三角形区域
G={(x，y)：0≤x≤1，0≤y≤1，x+y≥1}
于是X与Y的联合密度为
【解法二】三角形区域为G={(x，y)：0≤x≤1，0≤y≤1，x+y≥1}；随机变量X和Y的联合密度为
以f1(x)表示X的概率密度，则当x≤0或x≥1时，f1(x)=0；当0＜x＜1时，有
因此
同理可得
现在求X和Y的协方差．
于是
【解法三】三角形区域为G={x，y：0≤x≤1，0≤y≤1，X+Y≥1}；随机变量X和Y的联合密度为
以f(u)表示U=X+Y的概率密度，当u＜1或u＞2时，显然f(u)=0．
设1≤u≤2，当0≤x≤1且0≤u-x≤1时，f(x，u-x)=2，否则f(x，u-x)=0．由随机变量之和的概率密度公式有
因此
G={(x，y)：0≤x≤1，0≤y≤1，x+y≥1}
于是X与Y的联合密度为
【解法二】三角形区域为G={(x，y)：0≤x≤1，0≤y≤1，x+y≥1}；随机变量X和Y的联合密度为
以f1(x)表示X的概率密度，则当x≤0或x≥1时，f1(x)=0；当0＜x＜1时，有
因此
同理可得
现在求X和Y的协方差．
于是
【解法三】三角形区域为G={x，y：0≤x≤1，0≤y≤1，X+Y≥1}；随机变量X和Y的联合密度为
以f(u)表示U=X+Y的概率密度，当u＜1或u＞2时，显然f(u)=0．
设1≤u≤2，当0≤x≤1且0≤u-x≤1时，f(x，u-x)=2，否则f(x，u-x)=0．由随机变量之和的概率密度公式有
因此