【正确答案】(Ⅰ)因为g(χ)＝∫_－a^a｜χ－t｜f(t)dt＝∫_－a^χ(χ－t)f(t)dt＋∫_χ^a(t－χ)f(t)dt
＝χ∫_－a^χf(t)dt－∫_－a^χtf(t)dt＋∫_χ^atf(t)dt－χ∫_χ^af(χ)dt，
且f(t)连续，故上式右边可导，于是
g′(χ)＝∫_－a^χf(t)dt＋χf(χ)－χf(χ)－χf(χ)－∫_χ^af(t)dt＋χf(χ)＝∫_－a^χf(t)dt＋∫_a^χf(t)dt，
g〞(χ)＝2f(χ)，
因为f(χ)＞0，知g〞(χ)＞0，由此可得出g′(χ)为单调增函数．
(Ⅱ)令g′(χ)＝0，即∫_－a^χf(t)dt＋∫_a^χf(t)dt＝0．
令t＝－μ，dt＝－dμ，并注意到f(－t)＝f(t)，则
∫_－a^χf(t)dt＝－∫_a^－χf(－μ)dμ＝∫_－χ^af(μ)dμ＝∫_－χ^af(t)dt，
因此∫_－a^χf(t)dt＋∫_a^χf(t)dt＝∫_－χ^af(t)dt＋∫_a^χf(t)dt＝∫_－χ^χf(t)dt＝0，即2∫₀^χf(t)dt＝0．
又因为f(t)＞0，故χ＝0．由(Ⅰ)可知g〞(0)＝2f(0)＞0，则g(χ)在χ＝0点取得最小值，最小值为
g(0)＝∫_－a^a｜t｜f(t)dt＝2∫₀^atf(t)dt．
(Ⅲ)由2∫₀^af(t)dt＝f(a)－a²－1，将上式两边对a求导，则有2af(a)＝f′(a)－2a，
即＝2a，则有＝2χ，两边积分得ln[f(χ)＋1]＝χ²＋c；
由2∫₀^atf(t)dt＝f(a)－a²－1，知f(0)＝1，则c＝ln2，
于是得f(χ)＋1＝2，即f(χ)＝2