问答题
求使不等式
【正确答案】
【答案解析】【解】已知不等式等价于
即
令
则
令g(x)=(1+x)ln 2 (1+x)-x 2 ，x∈[0，1]，则g(0)=0，且
g"(x)=ln 2 (1+x)+2ln(1+x)-2x，g"(0)=0，
故g"(x)在[0，1]上严格单调递减，所以g"(x)＜g"(0)=0．同理，g(x)在[0，1]上也严格单调递减，故g(x)＜g(0)=0，即(1+x)ln 2 (1+x)-x 2 ＜0，从而f"(x)＜0(0＜x≤1)，因此f(x)在(0，1]上也严格单调递减．
令
则α≤f(x)≤β，有
故使不等式对所有的自然数n都成立的最大的数α为
最小的数β为
即
令
则
令g(x)=(1+x)ln 2 (1+x)-x 2 ，x∈[0，1]，则g(0)=0，且
g"(x)=ln 2 (1+x)+2ln(1+x)-2x，g"(0)=0，
故g"(x)在[0，1]上严格单调递减，所以g"(x)＜g"(0)=0．同理，g(x)在[0，1]上也严格单调递减，故g(x)＜g(0)=0，即(1+x)ln 2 (1+x)-x 2 ＜0，从而f"(x)＜0(0＜x≤1)，因此f(x)在(0，1]上也严格单调递减．
令
则α≤f(x)≤β，有
故使不等式对所有的自然数n都成立的最大的数α为
最小的数β为