填空题
已知A为n阶实对称阵，λi(i=1，2，…，n)是A的n个特征值，则实二次f=XTAX在‖X‖=1时的最大值为______。
- 1、
【正确答案】
1、
【答案解析】[考点] 二次型，正交变换，特征值
[答案解析] 对实二次型f=XTAX，总有正交变换X=PY(P为正交矩阵)使f化为标准形。
[*]
其中λi(1≤i≤n)是f的矩阵A的特征值，由于正交变换保持向量长度不变，即当‖X‖=1时，有
1=‖X‖2=XTX=YTPTPY=YTEY=YTY
[*]
从而[*]
[答案解析] 对实二次型f=XTAX，总有正交变换X=PY(P为正交矩阵)使f化为标准形。
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其中λi(1≤i≤n)是f的矩阵A的特征值，由于正交变换保持向量长度不变，即当‖X‖=1时，有
1=‖X‖2=XTX=YTPTPY=YTEY=YTY
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从而[*]