问答题
设f(x)是在[a，b]上连续且严格单调的函数，在(a，b)内可导，且f(a)=a＜b=f(b)．
证明：存在ξ i ∈(a，b)(i=1，2，…，n)，使得
证明：存在ξ i ∈(a，b)(i=1，2，…，n)，使得
【正确答案】
【答案解析】证明 令
，因为f(x)在[a，b]上连续且单调增加，且f(a)=a＜b=f(b)，
所以f(a)=a＜a+h＜…＜a+(n-1)h＜b=f(b)，由端点介值定理和函数单调性，
存在a＜c 1 ＜c 2 ＜…＜c n-1 ＜b，使得
f(c 1 )=a+h，f(c 2 )=a+2h，…，f(c n-1 )=a+(n-1)h，再由微分中值定理，得
f(c 1 )-f(a)=f"(ξ 1 )(c 1 -a)，ξ 1 ∈(a，c 1 )，
f(c 2 )-f(c 1 )=f"(ξ 2 )(c 2 -c 1 )，ξ 2 ∈(c 1 ，c 2 )，…
f(b)-f(c n-1 )=f"(ξ n )(b-c n-1 )，ξ n ∈(c n-1 ，b)，
从而有
，因为f(x)在[a，b]上连续且单调增加，且f(a)=a＜b=f(b)，
所以f(a)=a＜a+h＜…＜a+(n-1)h＜b=f(b)，由端点介值定理和函数单调性，
存在a＜c 1 ＜c 2 ＜…＜c n-1 ＜b，使得
f(c 1 )=a+h，f(c 2 )=a+2h，…，f(c n-1 )=a+(n-1)h，再由微分中值定理，得
f(c 1 )-f(a)=f"(ξ 1 )(c 1 -a)，ξ 1 ∈(a，c 1 )，
f(c 2 )-f(c 1 )=f"(ξ 2 )(c 2 -c 1 )，ξ 2 ∈(c 1 ，c 2 )，…
f(b)-f(c n-1 )=f"(ξ n )(b-c n-1 )，ξ n ∈(c n-1 ，b)，
从而有