问答题
设f(x)在[0，1]上可导，且f(0)=0，0＜f"(x)＜1，证明：
【正确答案】
【答案解析】[解] 令
再令
，h(0)=0，h"(x)=2f(x)[1-f"(x)]．
由f(0)=0，0＜f"(x)＜1得f(x)＞0(0＜x≤1)，
则h"(x)=2f(x)[1-f"(x)]＞0(0＜x＜1)，
由
得h(x)＞0(0＜x≤1)，从而φ"(x)＞0(0＜x＜1)，
再由
得φ(x)＞0(0＜x≤1)，
于是φ(1)＞0，即
再令
，h(0)=0，h"(x)=2f(x)[1-f"(x)]．
由f(0)=0，0＜f"(x)＜1得f(x)＞0(0＜x≤1)，
则h"(x)=2f(x)[1-f"(x)]＞0(0＜x＜1)，
由
得h(x)＞0(0＜x≤1)，从而φ"(x)＞0(0＜x＜1)，
再由
得φ(x)＞0(0＜x≤1)，
于是φ(1)＞0，即