问答题
设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足A2=A，求：
(1)二次型xTAx的标准形；
(2)行列式|E+A+A2+…+An|的值，其中E为单位矩阵。
(1)二次型xTAx的标准形；
(2)行列式|E+A+A2+…+An|的值，其中E为单位矩阵。
【正确答案】设Aα=λα(α≠0)，则A2α=λ2α，又A2α=Aα=λα，
故
或者λ=0。
由n阶实对称矩阵A的秩为r知，λ=1，λ=0分别为A的r重和n-r重特征值，
故存在正交矩阵P，使得
。
(1)经正交变换x=Py，二次型xTAx的标准形为
。
(2)A2=A
故
或者λ=0。由n阶实对称矩阵A的秩为r知，λ=1，λ=0分别为A的r重和n-r重特征值，
故存在正交矩阵P，使得
。(1)经正交变换x=Py，二次型xTAx的标准形为
。(2)A2=A
【答案解析】[考点] 二次型的标准型、抽象行列式的计算