由已知得f(x)的定义域为(0，+∞)，

f(1)=a-1,f(e)=a²-e²+ae；
①当0＜a＜1时 ，即a-1≤e²，在[1，e]上单调递减，f(x)在x=1处取得最大值，若f(x)≤e²，则f(1)≤e²，即a-1≤e²，所以0＜a＜1；
②当a∈[l，e]时,f(x)在x=a处取得最大值，若f(x)≤e²，则f(a)=a²lna≤e²，
设函数g(a)=a^2lna，g’(a)=2alna+a在定义域(0，+∞)恒大于零，所以g(a)单调递增，所以在a∈[1，e]时，g(a)max=g(e)≤e²，g(a)≤e²恒成 立，所以1≤a≤e；
③当a>e时，f(x)在[1，e]上单调递增，f(x)在x=e处取得最大值，若，f(x)≤e²，则f(e)=a²-e²+ae≤e²，解得-2e≤a≤e。故a不存在。
综上，当0 ＜a≤e时，f(x)在[1，e）恒有，f(x)≤e²。