用泰勒公式求下列极限：
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)用e
t
，ln(1+t)，cost，sint的泰勒公式，将分子、分母中的函数在x=0展开．由于 xcosx=x[1-
x
2
+o(x
2
)]=x-
x
3
+o(x
3
)，sinx=x-
x
3
+o(x
3
)， 因此，xcosxsinx=
x
3
+o(x
3
)=
x
3
+o(x
3
)． 再求分子的泰勒公式．由 x
2
e
2x
=x
2
[1+(2x)+o(x)]=x
2
+2x
3
+o(x
3
)，ln(1-x
2
)=-x
2
+o(x
3
)，
x
2
e
2x
+ln(1-x
2
)=2x
3
+o(x
3
)． 因此
(Ⅱ)由ln(1+x)=x-
x
2
+o(x
2
)(x→0)，令x=
，即得
x
2
+o(x
2
)]=x-
x
3
+o(x
3
)，sinx=x-
x
3
+o(x
3
)， 因此，xcosxsinx=
x
3
+o(x
3
)=
x
3
+o(x
3
)． 再求分子的泰勒公式．由 x
2
e
2x
=x
2
[1+(2x)+o(x)]=x
2
+2x
3
+o(x
3
)，ln(1-x
2
)=-x
2
+o(x
3
)，
x
2
e
2x
+ln(1-x
2
)=2x
3
+o(x
3
)． 因此
(Ⅱ)由ln(1+x)=x-
x
2
+o(x
2
)(x→0)，令x=
，即得
【答案解析】