问答题
已知A是3阶矩阵，α
1
，α
2
，α
3
是线性无关的3维列向量，满足Aα
1
=-α
2
-3α
2
-3α
3
，Aα
2
=4α
1
+4α
2
+α
3
，Aα
3
=-2α
1
+3α
3
．
(Ⅰ)求矩阵A的特征值；
(Ⅱ)求矩阵A的特征向量；
(Ⅲ)求矩阵A * -6E的秩．
(Ⅰ)求矩阵A的特征值；
(Ⅱ)求矩阵A的特征向量；
(Ⅲ)求矩阵A * -6E的秩．
【正确答案】
【答案解析】[解] (Ⅰ)据已知条件，有
A(α 1 ，α 2 ，α 3 )=(-α 1 -3α 2 -3α 3 ，4α 1 +4α 2 +α 3 ，-2α 1 十3α 3 )
记
及P
1
=(α
1
，α
2
，α
3
)，那么由α
1
，α
2
，α
3
线性无关知矩阵P
1
可逆，且
，即A与B相似．
由矩阵B的特征多项式
得矩阵B的特征值是1，2，3．从而知矩阵A的特征值是1，2，3．
(Ⅱ)由(E-B)x=0得基础解系β 1 =(1，1，1) T ，即矩阵B属于特征值λ=1的特征向量，由(2E-B)x=0得基础解系β 2 =(2，3，3) T ，即矩阵B属于特征值λ=2的特征向量，由(3E-B)x=0得基础解系β 3 =(1，3，4) T ，即矩阵B属于特征值λ=3的特征向量，那么令P 2 =(β 1 ，β 2 ，β 3 )，则有
于是令
=(α 1 +α 2 +α 3 ，2α 1 +3α 2 +3α 3 ，α 1 +3α 2 +4α 3 )，
则有
所以矩阵A属于特征值1，2，3的线性无关的特征向量依次为
k 1 (α 1 +α 2 +α 3 )，k 2 (2α 1 +3α 2 +3α 3 )，k 3 (α 1 +3α 2 +4α 3 )，k i ≠0(i=1，2，3)．
(Ⅲ)由
从而
所以秩r(A
*
-6E)=2．
A(α 1 ，α 2 ，α 3 )=(-α 1 -3α 2 -3α 3 ，4α 1 +4α 2 +α 3 ，-2α 1 十3α 3 )
记
及P
1
=(α
1
，α
2
，α
3
)，那么由α
1
，α
2
，α
3
线性无关知矩阵P
1
可逆，且
，即A与B相似．
由矩阵B的特征多项式
得矩阵B的特征值是1，2，3．从而知矩阵A的特征值是1，2，3．
(Ⅱ)由(E-B)x=0得基础解系β 1 =(1，1，1) T ，即矩阵B属于特征值λ=1的特征向量，由(2E-B)x=0得基础解系β 2 =(2，3，3) T ，即矩阵B属于特征值λ=2的特征向量，由(3E-B)x=0得基础解系β 3 =(1，3，4) T ，即矩阵B属于特征值λ=3的特征向量，那么令P 2 =(β 1 ，β 2 ，β 3 )，则有
于是令
=(α 1 +α 2 +α 3 ，2α 1 +3α 2 +3α 3 ，α 1 +3α 2 +4α 3 )，
则有
所以矩阵A属于特征值1，2，3的线性无关的特征向量依次为
k 1 (α 1 +α 2 +α 3 )，k 2 (2α 1 +3α 2 +3α 3 )，k 3 (α 1 +3α 2 +4α 3 )，k i ≠0(i=1，2，3)．
(Ⅲ)由
从而
所以秩r(A
*
-6E)=2．