解答题
设n阶矩阵A满足A2+2A-3E=O．
问答题
证明矩阵A，A+2E，A+4E可逆，并求出它们的逆矩阵；
【正确答案】解：由 所以，矩阵A可逆，且 由于，所以矩阵A+2E可逆，且 由于A2+2A-3E=O，所以A2+2A-8E=-5E． 而A2+2A-8E=(A+4E)(A-2E)，即(A+4E)(A-2E)=-5E．所以，矩阵A+4E可逆，且
【答案解析】
问答题
当A≠E时，判断矩阵A+3E是否可逆，并说明理由．
【正确答案】解：当A≠E时，A-E≠O． 由于A2+2A-3E=O，因式分解得(A+3E)(A-E)=O． 令A-E=(α1，α2，…，αn)，其中的每一列都是齐次线性方程组(A+3E)x=0的解，而A-E不是零矩阵，说明α1，α2，…，αn)中至少有一个向量不为0，即齐次线性方程组(A+3E)x=0有非零解． 故矩阵A+3E不是可逆矩阵．
【答案解析】