有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面，容器的底面圆的半径为2m。根据设计要求，当以3m
3
／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm
2
／min的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)。
问答题
根据t时刻液面的面积，写出t与φ(y)之间的关系式；
【正确答案】正确答案：设在t时刻，液面的高度为y，此时液面的面积为 A(t)=πφ
2
(y)， 由题设，液面的面积将πm
2
／min的速率均匀扩大，可得
【答案解析】
问答题
求曲线x=φ(y)的方程。
【正确答案】正确答案：液面的高度为Y时，液体的体积为 V(t)=π∫
0
y
φ
2
(μ)dμ， 由题设，以3m
3
／min的速率向容器内注入液体，得
[π∫
0
y
φ
2
(μ)dμ]=3， 所以 π∫
0
y
φ
2
(μ)dμ=3t =3φ
2
(y)一12， 上式两边对y求导，得 πφ
2
(y)=6φ(y)φ
'
(y)， 即
φ(y)， 解此微分方程，得φ(y)=
，其中C为任意常数。由φ(0)=2知C=2，故所求曲线方程为 x=
[π∫
0
y
φ
2
(μ)dμ]=3， 所以 π∫
0
y
φ
2
(μ)dμ=3t =3φ
2
(y)一12， 上式两边对y求导，得 πφ
2
(y)=6φ(y)φ
'
(y)， 即
φ(y)， 解此微分方程，得φ(y)=
，其中C为任意常数。由φ(0)=2知C=2，故所求曲线方程为 x=
【答案解析】