解答题
16.求函数f(x，y)＝xy－4／3x－y在由抛物线y＝4－x2(x≥0)与两个坐标轴所围成的平面闭区域D上的最大值和最小值。
【正确答案】区域D如图所示。
(1)边界L1：y＝0(0≤x≤2)，此时f(x，0)＝－4／3x，函数在此边界的最大值为f(0，0)＝0，最小值为f(2，0)＝－8／3。
边界L2：x＝0(0≤y≤4))，则f(0，y)＝－y，函数在此边界的最大值为f(0，0)＝0，最小值为f(0，4)＝－4。
边界L3：y＝4－x2(x≥0)，则
f(x，y)＝xy－4／3x－y＝x(4－x2)－4／3x－(4－x2)，
令f'(x)＝－3x2＋2x＋8／3＝0，
解得x＝－2／3(舍去)，x＝4／3，又因为
f''(x)＝－6x＋2，f''(4／3)＜0，
故该函数在此边界的最大值为f(4／3，20／9)＝－28／27。
(2)区域D内部f(x，y)＝xy－4／3x－y，则
解得x＝1，y＝4／3，
(1)边界L1：y＝0(0≤x≤2)，此时f(x，0)＝－4／3x，函数在此边界的最大值为f(0，0)＝0，最小值为f(2，0)＝－8／3。
边界L2：x＝0(0≤y≤4))，则f(0，y)＝－y，函数在此边界的最大值为f(0，0)＝0，最小值为f(0，4)＝－4。
边界L3：y＝4－x2(x≥0)，则
f(x，y)＝xy－4／3x－y＝x(4－x2)－4／3x－(4－x2)，
令f'(x)＝－3x2＋2x＋8／3＝0，
解得x＝－2／3(舍去)，x＝4／3，又因为
f''(x)＝－6x＋2，f''(4／3)＜0，
故该函数在此边界的最大值为f(4／3，20／9)＝－28／27。
(2)区域D内部f(x，y)＝xy－4／3x－y，则
解得x＝1，y＝4／3，
【答案解析】先画出区域图形，分别分析三个边界和区域