单选题
设A=E-ξξT，其中E为n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置。证明：(1)A2=A的充要条件是ξTξ=1；(2)当ξTξ=1时，A是不可逆矩阵．
【正确答案】[证明] (1)A2=(E-ξξT)(E-ξξT)=E-2ξξT+ξξTξξT
=E-ξξT+ξ(ξTξ)ξT-ξξT=A+(ξTξ)ξξT-ξξT
那么A2=A
(ξTξ-1)ξξT=0．
因为ξ是非零列向量，ξξT≠0，故A2=AξTξ-1=0．即ξTξ=1．
(2)反证法．当ξTξ=1时，由(1)知A2=A，若A可逆，则
A=A-1A2=A-1A=E
与已知A=E-ξξT≠E矛盾．
=E-ξξT+ξ(ξTξ)ξT-ξξT=A+(ξTξ)ξξT-ξξT
那么A2=A
(ξTξ-1)ξξT=0．因为ξ是非零列向量，ξξT≠0，故A2=A
ξTξ-1=0．即ξTξ=1．(2)反证法．当ξTξ=1时，由(1)知A2=A，若A可逆，则
A=A-1A2=A-1A=E
与已知A=E-ξξT≠E矛盾．
【答案解析】