【正确答案】解 设三角形的三边分别为,则面积.所述问题就是求函数在 上的最大值.因是开区域,把的边界添加进去得到有界闭区域 于是在上一定取到最大值,又在的边界上的值为,而在内部的值皆大于零,从而在内一定能取到最大值. 因与在内有相同的可疑极值点,所以考虑函数. 解方程组得,于是,即在处取得最大值.故面积最大的三角形为边长为的等边三角形,面积. 注:在内部仅有一个稳定点,我们不能像一元函数那样,不管在边界上的值就断定稳定点必是的最值点.如,易知在的内部仅有一个临界点,且它是的极大值点,极大值为,但在上的最大值为. 对应用问题,若根据问题的实际意义,知在内一定达到最大(小)值,而在内的可疑极值点唯一时,无需判别,可直接下结论:该点的值即为在内的最大(小)值.