解答题
5.(03年)设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导．且f'(x)＞0．若极限
存在．证明：
(1)在(a，b)内f(x)＞0；
(2)在(a，b)内存在点ξ，使
(3)在(a，b)内存在与(2)中ξ相异的点η，使f'(η)(b2一a2)=
存在．证明：(1)在(a，b)内f(x)＞0；
(2)在(a，b)内存在点ξ，使
(3)在(a，b)内存在与(2)中ξ相异的点η，使f'(η)(b2一a2)=
【正确答案】(1)由
存在知，
由f(x)在[a，b]上的连续知，f(a)=0．又f’(x)＞0，则
f(x)在(a,b)内单调增加，故
f(x)＞f(a)=0．x∈(a，b)
(2)设F(x)=x2.g(x)=∫axf(t)dt (a≤x≤b)
则g’(x)=f(x)＞0．故F(x)，g(x)满足柯西中值定理的条件．于是在(a，b)内存在点ξ．使
(3)在[a，ξ]上对f(x)用拉格朗日中值定理得，存在η∈(a．ξ)，使
f(ξ)一f(a)=f’(η)(ξ一a)
即 f(ξ)=f'(η)(ξ一a)
代入(2)中的结论得
故 f’(η)(b2一a2)=
存在知，由f(x)在[a，b]上的连续知，f(a)=0．又f’(x)＞0，则f(x)在(a,b)内单调增加，故
f(x)＞f(a)=0．x∈(a，b)
(2)设F(x)=x2.g(x)=∫axf(t)dt (a≤x≤b)
则g’(x)=f(x)＞0．故F(x)，g(x)满足柯西中值定理的条件．于是在(a，b)内存在点ξ．使
(3)在[a，ξ]上对f(x)用拉格朗日中值定理得，存在η∈(a．ξ)，使
f(ξ)一f(a)=f’(η)(ξ一a)
即 f(ξ)=f'(η)(ξ一a)
代入(2)中的结论得
故 f’(η)(b2一a2)=
【答案解析】