问答题
设向量组α
1
，α
2
，α
3
是R
3
内的一个基，β
1
=2α
1
+2kα
3
，β
2
=2α
2
，β
3
=α
1
+(k+1)α
3
。
问答题
证明向量组β
1
，β
2
，β
3
为R
3
的一个基；
【正确答案】
【答案解析】解：证明：
又
又
问答题
当k为何值时，存在非0向量ξ在基α
1
，α
2
，α
3
与基β
1
，β
2
，β
3
下的坐标相同，并求所有的ξ。
【正确答案】
【答案解析】解：根据题意设
ξ=k 1 β 1 +k 2 β 2 +k 3 β 3 =k 1 α 1 +k 2 α 2 +k 3 α 3 ，ξ≠0
则k 1 (β 1 -α 1 )+k 2 (β 2 -α 2 )+k 3 (β 3 -α 3 )=0，k i ≠0，i=1，2，3，
k 1 (2α 1 +2kα 3 -α 1 )+k 2 (2α 2 -α 2 )+k 3 (α 1 +(k+1)α 3 -α 3 )=0，
k 1 (α 1 +2kα 3 )+k 2 α 2 +k 3 (α 1 +kα 3 )=0 (1)
则α 1 +2kα 3 ，α 2 ，α 1 +kα 3 |=0，
即
ξ=k 1 β 1 +k 2 β 2 +k 3 β 3 =k 1 α 1 +k 2 α 2 +k 3 α 3 ，ξ≠0
则k 1 (β 1 -α 1 )+k 2 (β 2 -α 2 )+k 3 (β 3 -α 3 )=0，k i ≠0，i=1，2，3，
k 1 (2α 1 +2kα 3 -α 1 )+k 2 (2α 2 -α 2 )+k 3 (α 1 +(k+1)α 3 -α 3 )=0，
k 1 (α 1 +2kα 3 )+k 2 α 2 +k 3 (α 1 +kα 3 )=0 (1)
则α 1 +2kα 3 ，α 2 ，α 1 +kα 3 |=0，
即