解答题
4.设有n元实二次型
f(x1，x2，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，
其中ai(i=1，2，…，n)为实数。试问：当a1，a2，…，an满足条件时，二次型f(x1，x2，…，xn)为正定二次型。
f(x1，x2，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，
其中ai(i=1，2，…，n)为实数。试问：当a1，a2，…，an满足条件时，二次型f(x1，x2，…，xn)为正定二次型。
【正确答案】方法一：用正定性的定义判别。
已知对任意的x1，x2，…，xn均有f(x1，x2，…，xn)≥0，其中等号成立当且仅当
方程组仅有零解的充分必要条件是其系数行列式
｜B｜=
=1+(—1)n+1a1a2…an≠0，
即当a1，a2，…，an≠(一1)n时，方程组(*)只有零解，此时f(x1，x2，…，xn)=0。若对任意的非零向量x=(x1，x2，…，xn)≠0，(*)中总有一个方程不为零，则有
f(x1，x2，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2＞0，
所以，根据正定二次型的定义，对任意的向量(x1，x2，…，xn)，如果f(x1，x2，…，xn)≥0，则二次型正定。由以上证明题中f(x1，x2，…，xn)是正定二次型。
方法二：将二次型表示成矩阵形式，有
f(x1，x2，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2
=(x1+x1x2，x2+a2x3，…，xn-1+an-1xn，xn+anx1)
则 f(x1，x2，…，xn)=XTBTBx=(Bx)TBx≥0，
当
｜B｜=
=1+(一1)n+1a1a2…an≠0。
即当a1．a2．…．an≠(一1)n时，Bx=0只有零解，故当任意的X≠0时，均有f(x1，x2，…，xn)=(Bx)TBx＞0，从而由正定二次型的定义，对任意的向量(x1，x2，…，xn)，如果f(x1，x2，…，xn)＞0，则f(x1，x2，…，xn)是正定二次型。
已知对任意的x1，x2，…，xn均有f(x1，x2，…，xn)≥0，其中等号成立当且仅当
方程组仅有零解的充分必要条件是其系数行列式
｜B｜=
=1+(—1)n+1a1a2…an≠0，即当a1，a2，…，an≠(一1)n时，方程组(*)只有零解，此时f(x1，x2，…，xn)=0。若对任意的非零向量x=(x1，x2，…，xn)≠0，(*)中总有一个方程不为零，则有
f(x1，x2，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2＞0，
所以，根据正定二次型的定义，对任意的向量(x1，x2，…，xn)，如果f(x1，x2，…，xn)≥0，则二次型正定。由以上证明题中f(x1，x2，…，xn)是正定二次型。
方法二：将二次型表示成矩阵形式，有
f(x1，x2，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2
=(x1+x1x2，x2+a2x3，…，xn-1+an-1xn，xn+anx1)
则 f(x1，x2，…，xn)=XTBTBx=(Bx)TBx≥0，
当
｜B｜=
=1+(一1)n+1a1a2…an≠0。即当a1．a2．…．an≠(一1)n时，Bx=0只有零解，故当任意的X≠0时，均有f(x1，x2，…，xn)=(Bx)TBx＞0，从而由正定二次型的定义，对任意的向量(x1，x2，…，xn)，如果f(x1，x2，…，xn)＞0，则f(x1，x2，…，xn)是正定二次型。
【答案解析】