单选题
设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*，下列叙述正确的有______个。
(1)若|A|=0，则|A*|=0； (2)|A|=|A|n-1；
(3)若|A|≠0，则|A*|≠0； (4)若A≠0，则A*≠0。
A．1 B．2 C．3 D．4
(1)若|A|=0，则|A*|=0； (2)|A|=|A|n-1；
(3)若|A|≠0，则|A*|≠0； (4)若A≠0，则A*≠0。
A．1 B．2 C．3 D．4
【正确答案】
C
【答案解析】[解析] (1)用反证法思考，假设|A*|≠0，则有A*(A*)-1=E。
由此得A=AA*(A*)-1=|A|E(A*)-1=0，所以A*=0。
这与|A*|≠0矛盾，故当|A|=0时，有|A*|=0。
(2)由于AA*=|A|E，取行列式得到：|A||A*|=|A|n。
若|A|≠0，则|A*|=|A|n-1；
若|A|=0，由(1)知|A*|=0，此时命题也成立，故有|A*|=|A|n-1。
(3)由(2)可知，|A*|=|A|n-1≠0，此命题成立。
(4)可取反例，如
由此得A=AA*(A*)-1=|A|E(A*)-1=0，所以A*=0。
这与|A*|≠0矛盾，故当|A|=0时，有|A*|=0。
(2)由于AA*=|A|E，取行列式得到：|A||A*|=|A|n。
若|A|≠0，则|A*|=|A|n-1；
若|A|=0，由(1)知|A*|=0，此时命题也成立，故有|A*|=|A|n-1。
(3)由(2)可知，|A*|=|A|n-1≠0，此命题成立。
(4)可取反例，如