解答题
19.设向量组(Ⅰ)α1=(1，0，2)T，α2=(1，1，3)T，α3=(1，-1，a+2)T和向量组(Ⅱ)β1=(1，2，a+3)T，β2=(2，1，a+6)T，β3=(2，1，a+4)T．试问：当a为何值时，向量组(Ⅰ)与(Ⅱ等价?当a为何值时，向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)不等价?
【正确答案】对(α1，α2，α3┊β1，β2，β3)作初等行变换，得
(1)当a≠-1时，r(α1，α2，α3)=3，线性方程组x1α1+x2α2+x3α3=βi(i=1，2，3)均有唯一解，所以β1，β2，β3可由向量组(Ⅰ)线性表示．
由于行列式
故对任意a，方程组x1β1+x2β2+x3β3=αi(i=1，2，3)都有唯一解，即向量组α1，α2，α3能由向量组(Ⅱ)线性表示．
因此，当a≠-1时，向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价．
(2)当a=-1时，有
(1)当a≠-1时，r(α1，α2，α3)=3，线性方程组x1α1+x2α2+x3α3=βi(i=1，2，3)均有唯一解，所以β1，β2，β3可由向量组(Ⅰ)线性表示．
由于行列式
故对任意a，方程组x1β1+x2β2+x3β3=αi(i=1，2，3)都有唯一解，即向量组α1，α2，α3能由向量组(Ⅱ)线性表示．
因此，当a≠-1时，向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价．
(2)当a=-1时，有
【答案解析】本题考查两向量组是否等价与其对应的两组线性方程是否有解的关系．若向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价，即向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)可以互相线性表示．也就是两组线性方程组都有解，若向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)不等价，则在两组线性方程组中至少有一个方程无解．