解答题
7.设函数f(x)满足xf'(x)-2f(x)=-x，且由曲线y=f(x)，x=1及x轴(x≥0)所围成的平面图形为D．若D绕x轴旋转一周所得旋转体体积最小，求：
(1)曲线y=f(x)；
(2)曲线在原点处的切线与曲线及直线x=1所围成的平面图形的面积．
(1)曲线y=f(x)；
(2)曲线在原点处的切线与曲线及直线x=1所围成的平面图形的面积．
【正确答案】(1)由xf'(x)-2f(x)=-x
f'(x)-
f(x)=-1
f(x)=x+cx2．
设平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为V，则
V(c)=π∫01(x+cx2)2dx
因为V''(c)=
＞0，所以c=
为V(c)的最小值点，且曲线方程为f(x)=x-
x2.
(2)f'(x)=1-
，f'(0)=1，曲线f(x)=x-
x2在原点处的切线方程为y=x，
则A=∫01[x-(x-
x2)]dx=
f'(x)-f(x)=-1f(x)=x+cx2．设平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为V，则
V(c)=π∫01(x+cx2)2dx
因为V''(c)=
＞0，所以c=为V(c)的最小值点，且曲线方程为f(x)=x-x2.(2)f'(x)=1-
，f'(0)=1，曲线f(x)=x-x2在原点处的切线方程为y=x，则A=∫01[x-(x-
x2)]dx=【答案解析】