解答题
设方程xn+nx-1=0，其中n为正整数．证明此方程存在唯一正实根xn，并证明当α＞1时，级数
【正确答案】
【答案解析】记fn(x)=xn+nx-1．由fn(0)=-1＜0，fn(1)=n＞0，及连续函数的介值定理知，方程xn+nx-1=0存在正实数根xn∈(0，1)．
当x＞0时，
，可见fn(x)在[0，+∞)上单调增加，故方程xn+nx-1=0存在唯一正实数根xn．
由xn+nx-1=0与xn＞0知
故当α＞1时，
．而正项级数
收敛，所以当α＞1时，级数
当x＞0时，
，可见fn(x)在[0，+∞)上单调增加，故方程xn+nx-1=0存在唯一正实数根xn．由xn+nx-1=0与xn＞0知
故当α＞1时，
．而正项级数收敛，所以当α＞1时，级数