问答题
已知函数f(x)在[0，1]上存在二阶导数，且f(1)=0。令
F(x)=(ex-1)2f(x)，证明：
(Ⅰ)在(0，1)内至少存在一点ξ，使得F'(ξ)=0；
(Ⅱ)在(0，1)内F"(x)=0至少存在一个根。
【正确答案】(Ⅰ)函数F(x)=(ex-1)2f(x)在[0，1]上满足罗尔定理的条件，故在(0，1)内至少存在一点ξ，使得F'(ξ)=0。
(Ⅱ)又由于F'(x)=2ex(ex-1)f(x)+(ex-1)2f'(x)，所以F'(0)=0。
令G(x)=F'(x)，则易知：G(x)在[0，ξ]上满足罗尔定理的条件，故在(0，1)内F"(x)=0至少存在一个根。
【答案解析】