设f(x)为连续正值函数，x∈[0，+∞)，若平面区域R
t
={(x，y)｜0≤x≤t，0≤y≤f(x)}(t＞0)的形心纵坐标等于曲线y=f(x)在[0，t]上对应的曲边梯形面积与
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)列方程．按平面图形的形心公式，形心的纵坐标为
∫
0
t
f
2
(x)dx／∫
0
t
f(x)dx， 而相应的曲边梯形的面积为∫
0
t
f(x)dx．见图6．2．按题意
即∫
0
t
f
2
(x)dx=2[∫
0
t
f(x)dx]
2
+∫
0
t
f(x)dx(x≥0)． ① (Ⅱ)转化．将方程①两边求导，则 方程①
f
2
(t)=4f(t)∫
0
t
f(x)dx+f(t)
f(t)=4∫
0
t
f(x)dx+1 ② (①中令x=0，等式自然成立，不必另加条件)． f(x)实质上是可导的，再将方程②两边求导，并在②中令t=0得
(Ⅲ)求解等价的微分方程的初值问题③．这是一阶线性齐次方程的初值问题，两边同乘μ(t)=e
-∫4dt
∫
0
t
f
2
(x)dx／∫
0
t
f(x)dx， 而相应的曲边梯形的面积为∫
0
t
f(x)dx．见图6．2．按题意
即∫
0
t
f
2
(x)dx=2[∫
0
t
f(x)dx]
2
+∫
0
t
f(x)dx(x≥0)． ① (Ⅱ)转化．将方程①两边求导，则 方程①
f
2
(t)=4f(t)∫
0
t
f(x)dx+f(t)
f(t)=4∫
0
t
f(x)dx+1 ② (①中令x=0，等式自然成立，不必另加条件)． f(x)实质上是可导的，再将方程②两边求导，并在②中令t=0得
(Ⅲ)求解等价的微分方程的初值问题③．这是一阶线性齐次方程的初值问题，两边同乘μ(t)=e
-∫4dt
【答案解析】