问答题设A，B同为m×n矩阵，求证r(A+B)≤r(A)+r(B)

【正确答案】将A，B分别按列分块，则
A=(α₁，α₂，…，α_n) B=(β₁，β₂，…，β_n)
此时 A+B=(α₁+β₁，α₂+β₂，…，α_n+β_n)
设矩阵A的列向量组(α₁，α₂，…，α_n)的一个极大无关组是
(α_j₁，α_j₂，…，α_{j_t}) (1)
矩阵B的列向量组(β₁，β₂，…，β_n)的一个极大无关组是
(β_k₁，β_k₂，…，β_{k_s}) (2)
将向量组(1)、向量组(2)合并组成一个新的向量组
(α_j₁，α_j₂，…，α_{j_t}，β_k₁，β_k₂，…，β_{k_s}) (3)
显然，向量组(α₁+β₁，α₂+β₂，…，α_n+β_n)的每一个向量都可由向量组(3)线性表示，向量组(α₁+β₁，α₂+β₂，…，α_n+β_n)的极大无关组也可由向量组(3)线性表示，因此向量组(α₁+β₁，α₂+β₂，…，α_n+β_n)的极大无关组所含向量的个数不会超过向量组(3)所含向量的个数，故有r(A+B)≤r(A)+r(B)

【答案解析】