问答题
设A，B均为n阶矩阵，A有n个互不相同的特征值，且AB=BA．证明：B相似于对角矩阵．
【正确答案】正确答案：A有n个互不相同的特征值，故存在可逆矩阵P，使得P
－1
AP=diag(λ
1
，λ
2
，…，λ
n
)= Λ
1
，其中λ
i
(i=1，2，…，n)是A的特征值，且λ
i
≠λ
j
(i≠j)． 又AB=BA，故P
－1
APP
－1
BP=P
－1
BPP
－1
AP，即Λ
1
P
－1
BP=P
－1
BPΛ
1
． 设P
－1
BP=(c
ij
)
n×n
，则
比较对应元素λ
i
c
ij
=λ
j
c
ij
，即(λ
i
－λ
j
)c
ij
=0，λ
i
≠λ
j
(i≠j)，得c
ij
=0，于是 P
－1
BP=
比较对应元素λ
i
c
ij
=λ
j
c
ij
，即(λ
i
－λ
j
)c
ij
=0，λ
i
≠λ
j
(i≠j)，得c
ij
=0，于是 P
－1
BP=
【答案解析】