填空题
曲线y=e
x
与该曲线过原点的切线及y轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积为 1．
【正确答案】
【答案解析】
．
[解析] 本题考查定积分的几何应用中求旋转体的体积问题，要先求出曲线过原点的切线方程，找到相应的平面图形，利用微元法求解．
解 设切点坐标为(x 0 ，y 0 )，则切线方程为
y-y 0 =e x0 (x-x 0 )．因切线过原点，且y 0 -e x0 ，可求得x 0 =1，y 0 =e．故切线方程为y=ex，于是所求旋转体的体积为
注 旋转体体积亦可为
．
[解析] 本题考查定积分的几何应用中求旋转体的体积问题，要先求出曲线过原点的切线方程，找到相应的平面图形，利用微元法求解．
解 设切点坐标为(x 0 ，y 0 )，则切线方程为
y-y 0 =e x0 (x-x 0 )．因切线过原点，且y 0 -e x0 ，可求得x 0 =1，y 0 =e．故切线方程为y=ex，于是所求旋转体的体积为
注 旋转体体积亦可为